Montrer que si \((d_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite positive, croissante et tendant vers \(+\infty\), alors la série de terme général $$u_n={{\frac{(-1)^n}{d_n} }}$$ converge

Appliquer le théorème de la sommation d'Abel avec \(a_n=\frac1{d_n}\) et \(b_n=(-1)^n\)

Étudier la nature de la série $$\sum\frac{(-1)^n\ln n}{n}$$

On a \(\frac{\ln}{n}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\) d'après une croissance comparée. De plus, la suite est positive et tend vers \(0\)
La série est donc convergente d'après le théorème de la série alternée

Étudier la nature de la série $$\sum(-1)^n\sin\left(\frac1{\sqrt n}\right)$$

En regardant les variations de la fonction \(x\mapsto\sin(\frac1{\sqrt n})\), on s'aperçoit que \(u_n=\sin(\frac1{\sqrt n})\) est décroissante. Elle est de plus positive et tend vers \(0\) par équivalence
La série est donc convergente d'après le théorème de la série alternée
On peut également procéder de la façon suivante : $$\sqrt n\leqslant\sqrt{n+1}\implies\frac1{\sqrt n}\geqslant\frac1{\sqrt{n+1}}\implies\ldots$$

Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum(-1)^n\left(\sqrt{1+n}-\sqrt{n}\right)$$

Multiplication et division par le conjugué
$$\left(\sqrt{1+n}-\sqrt{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$$

\(n\mapsto\left(\sqrt{1+n}-\sqrt{n}\right)\) est donc positive, décroissante et tend vers \(0\), la suite est donc convergente d'après le théorème de la série alternée

On considère la série de terme général \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\)
La série \(\sum u_n\) est convergente, mais pas absolument convergente
On note \(\ell=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\)
Montrer que \(\ell\gt 0\)

Critère des séries alternées

D'après le critère des séries alternées, on a $$u_0+u_1\leqslant\ell\leqslant u_0$$
Puisque \(u_0+u_1=1-\frac1{\sqrt2}\gt 0\), on a bien \(\ell\gt 0\)